Poliedri ed esagoni

[This post is in italian. Read here the English version]

I poliedri più conosciuti sono sicuramente quelli regolari, anche detti platonici: tetraedri, ottaedri, cubi, icosaedri e dodecaedri.

Sono fatti di triangoli, quadrati e pentagoni... Ma possiamo farne di esagoni?

La risposta è no, quantomeno se li vogliamo tutti uguali tra loro e regolari. Questo perché se affianchiamo tre esagoni questi riempiono tutto l'angolo di 360° (120° ciascuno) e non riusciamo a piegarli per creare qualcosa di tridimensionale. 

Anche i triangoli riempiono tutto l'angolo, ma per fare questo dobbiamo usarne sei. E quindi affiancandone solo tre, quattro o cinque riusciamo a creare poliedri: il tetraedro, l'ottaedro e l'icosaedro rispettivamente.

E se ci accontentiamo che solo alcune facce siano esagoni? In tal caso riusciamo a costruire poliedri. Ad esempio, usando anche pentagoni, otteniamo un icosaedro troncato, ovvero la forma del pallone da calcio.

Ma supponiamo di volere per forza che tutte le facce siano esagoni.

Magari basta prenderli non regolari? Ad esempio, di poliedri fatti di quadrati (cioè quadrilateri regolari) ne esiste solo uno: il cubo; ma se non chiedo che siano regolari ne esistono altri, come l'icosaedro rombico. Quindi, magari, di poliedri fatti di esagoni regolari non ne esistono, ma con esagoni irregolari sì.

La risposta, purtroppo, è sempre no!

Usando la formula di Eulero per i poliedri, che ci dice che 

vertici + facce = lati + 2 , 

(cioè il numero di vertici, sommato al numero di facce, è uguale al numero di lati più due) si dimostra infatti che non si riesce a costruire un poliedro fatto solo di esagoni, non importa quanto irregolari siano!

Questa è proprio una pessima notizia per chi ama i poliedri e gli esagoni :(

Ma non disperate! Non tutto è perduto!

La formula di Eulero, infatti, vale solo per i poliedri che sono "palle", cioè che non hanno buchi. Ma per i poliedri a forma di ciambella la formula di Eulero è diversa: 

vertici + facce = lati .

Possiamo quindi presentare un poliedro fatto tutto di esagoni! Signori e signore, ecco a voi... il poliedro di Szilassi:

Ha sette facce, tutte esagonali. Ogni faccia ha sei lati, e dunque tocca tutte le altre facce. Sei di queste facce sono esagoni concavi, uguali a due a due. L'ultima faccia è un esagono convesso, l'unico, e si trova "nel buco".

Ecco il suo sviluppo:

Purtroppo, qualcuno potrebbe obiettare che gli esagoni concavi sono brutti.

Io non sono d'accordo, ma per queste persone cercheremo di capire se è possibile trovare un poliedro con solo facce esagonali convesse.

Cercando su internet si può trovare questa immagine: un poliedro fatto a ciambella proprio come lo vogliamo noi.

Eppure... qualcosa non torna. Questo poliedro in realtà non può esistere! Ecco perché:

Diciamo che il nostro poliedro ha n facce esagonali.

I suoi lati quindi sono 3n, perché ogni faccia ha 6 lati, ma ogni lato appartiene a due facce.

Prendiamo ora la formula di Eulero per i poliedri a ciambella: vertici + facce = lati, quindi, sostituendo facce = n e lati = 3n, otteniamo vertici = 2n.

Poiché ogni faccia ha 6 vertici, questo significa che ogni vertice deve appartenere (in media) a 3 facce (stesso ragionamento che avevamo fatto per contare i lati). Ma in un vertice non possono incontrarsi meno di 3 facce, che è la stessa cosa che dire: un vertice non può appartenere a meno di 3 facce.

Quindi in ogni vertice si incontrano esattamente 3 facce.

(Nota: in effetti, questo è vero per il poliedro di Szilassi, che è un esempio di poliedro a ciambella con sole facce esagonali)

Vedremo ora che, se le facce sono esagoni convessi, questo è impossibile!

La somma degli angoli di un esagono (convesso) è 6x120°. Quindi ogni angolo di ognuno dei nostri esagoni misura in media 120°, quindi in ogni vertice, in media, ho un totale di 3x120° = 360°. 

Il problema è qui: se ho tre facce che si incontrano in un vertice, e i loro angoli sono minori di 180° (perché gli esagoni sono convessi), la somma totale degli angoli non può essere maggiore o uguale a  360°. Questo è vero per tutti i poliedri a cui puoi pensare (non è una dimostrazione, ma se vuoi convincertene prova a spostare i punti A, B e C qui, e osserva come cambia la somma dei tre angoli); e si può dimostrare abbastanza facilmente, anche se non lo farò qui.

Questo vuol dire che in tutti i vertici ho meno di 360° totali, che contraddice ciò che avevamo detto prima: in media ho 360° totali.

Poiché abbiamo una contraddizione, un poliedro a ciambella con tutti esagoni regolari (come quello nella figura) non può esistere. 

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Insomma, l'immagine trovata su internet ci sta imbrogliando: probabilmente gli esagoni al suo interno non sono planari, sono curvi, ma da lontano non si vede.

Torniamo quindi alla nostra domanda iniziale: possiamo trovare un poliedro fatto di soli esagoni convessi? La risposta è no se è una sfera (per la formula di Eulero) e ancora no se è una ciambella, ma magari, aggiungendo buchi alla nostra ciambella... chissà!

(Nota: quando dico "chissà", intendo davvero chissà! Che io sappia, questo è un problema aperto in matematica: nessuno ne conosce la risposta.)

Finale del XI Campionato Studentesco di Giochi Logici

Si è svolta oggi 18 maggio, sempre alla Polisportiva Sacca, la finale dell'undicesimo Campionato Studentesco di Giochi Logici.

Anche quest'anno i ragazzi della provincia di Massa-Carrara riescono a portare a casa numerosi premi.

Nella gara individuale riservata alle scuole medie, Massa-Carrara occupa tutte le posizioni pari premiate: al 6° posto Matteo Fusani, della Dazzi; al 4° e 2° posto Leonardo Zapponi e Giovanni Bengasi Fiorini 🥈 rispettivamente, dalla Taliercio, entrambi risolvendo correttamente tutti gli schemi della gara.

Nel biennio delle superiori la provincia (in particolare, il Marconi) occupa tutto il podio: al terzo posto Diego Barcellone 🥉, al secondo Francesco Manetti 🥈 e prima classificata Linda Babboni 🥇. Tutti e tre hanno risolto tutti i giochi proposti.

Per il triennio vengono premiati Tommaso Teani del Fermi al nono posto, Sara Galletti del Gentileschi al settimo posto, Andrea Borghini del Salvetti serale al sesto posto. Al primo posto a pari merito, con pochi secondi di differenza nella consegna e tutti gli esercizi risolti, Matteo Massa 🥇 del Marconi.

Nella gara a squadre delle scuole medie arrivano ottavi I gini, e quinti i LoGiCA, entrambe squadre della Taliercio.

Per il biennio a squadre, tutti i premiati sono di Massa-Carrara: arrivano sesti i Si dai cià del Marconi, quinti Gli armadilli fabriatici del Marconi, quarti I veri leoni del Zaccagna-Galilei, terzi le Barchette Luccicanti 🥉 del Marconi, secondi i Carboni Ardenti 🥈 del Rossi, e vincono i Persi in Labirinto Magico 🥇 del Fermi (Filippo Francini, Veronica Lucia, Giulia Mariotti e Emanuele Armanetti).

Nel trennio stravince, con più di 100 punti di distacco dai secondi classificati, Gli shocking rosacoleottero 🥇 del Marconi (Rosario Gentile, Sara Sigolo, Paolo Marino e Matteo Massa).

Heyawake

Annerisci alcune caselle, in modo che:

• due caselle nere non si tocchino ortogonalmente (possono toccarsi in diagonale);
• tutte le caselle bianche siano connesse ortogonalmente;
• una fila di caselle bianche consecutive non attraversi più di due bordi di regione;
• i numeri indichio quante caselle nere ci sono in quella regione (le caselle con un numero possono essere annerite).

Vuoi provare? Premi su un numero da 1 a 6 qui sotto per cominciare.
Clicca su una casella per colorarla di verde (puoi usarlo per segnalare che una casella è sicuramente bianca, ma non è necessario ai fini della soluzione), e due volte per annerirla.
Puoi usare il pulsante "Controlla la tua soluzione" per scoprire se hai fatto giusto. Puoi anche scoprire la soluzione con "Mostra la soluzione corretta", ma perderai tutti i tuoi progressi!
Riesci a risolvere tutti e sei gli schemi?

Dante e Fermat

Durante di Alighiero degli Alighieri, anche noto come Dante, nasce nel 1265 a Firenze, in Italia.

È considerato il padre della lingua italiana, e uno dei più grandi poeti e scrittori del nostro paese. Eppure, non era infallibile! 

Una dote importante per uno scrittore, infatti, è sicuramente saper riassumere, e dare ad ogni cosa il giusto spazio. Nel trentatreesimo canto del Purgatorio (versi 136-141), Dante ammette di aver sbagliato le misure:

S’io avessi, lettor, più lungo spazio 

da scrivere, i’ pur cantere’ in parte 

lo dolce ber che mai non m’avrìa sazio;

ma perché piene son tutte le carte 

ordite a questa cantica seconda, 

non mi lascia più ir lo fren de l’arte

🕮    🕮    🕮    🕮    🕮

Pierre de Fermat nasce nel 1601 a Beaumont-de-Lomagne, in Francia.

È uno dei più importanti matematici della storia (nonostante si occupasse della materia solo come hobby), ha dato importanti contributi allo sviluppo della matematica moderna e avuto scambi di lettere con molte altre importanti figure del suo tempo, come Mersenne e Pascal. Eppure, non era infallibile!

Mentre stava leggendo l'Arithmetica di Diofanto di Alessandria, scrisse sul bordo della pagina:

È impossibile separare un cubo in due cubi, o una potenza quarta in due potenze quarte, o in generale, tutte le potenze maggiori di 2 come somma della stessa potenza. Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina.

Quello che Fermat sostiene riguarda l'equazione

aⁿ + bⁿ = cⁿ

dove vogliamo che a, b e c siano numeri interi e positivi.

Se n=1, sappiamo trovare un sacco di terne di numeri a, b e c che soddisfano l'equazione: 1+2=3, 7+5=12, 2563+283646=286209 ...

Se n=2, queste terne si chiamano terne pitagoriche, e sono le possibili terne di lati dei triangoli rettangoli. Anche di queste sappiamo dimostrare che ne esistono infinite. Ad esempio: 3²+4²=5², 7²+12²=13² ...

Cosa succede per n=3 ? E per n=4 ? E per tutti gli altri possibili valori di n? Puoi provare quanto vuoi, ma, secondo Fermat, non esiste nessuna terna che soddisfi quell'equazione. Nessuna!

Eppure, Fermat non scrisse mai una dimostrazione di questo teorema, che venne chiamato "l'ultimo teorema di Fermat" (nonostante per essere davvero un teorema avrebbe dovuto avere una dimostrazione).

Lo dimostrò nel caso di n=4, e poi molti altri matematici dopo di lui provarono a dimostrarlo per altri valori di n. Eulero lo dimostrò per n=3, Dirichlet e Legendre per n=5, Gabriel Lamé per n=7.

Finalmente, nel 1994, Andrew Wiles è riuscito a dimostrarlo per tutti i possibili valori di n.

Ma che fine ha fatto la dimostrazione che Fermat sosteneva di avere in quel margine di pagina?

Ovviamente, c'è la possibilità che avesse davvero una dimostrazione del teorema, ma si tende ad escludere questa ipotesi: la dimostrazione di Wiles utilizza metodi matematici molto recenti, che Fermat non aveva, ed è impossibile che li avesse sviluppati da solo, e senza farne parola con nessuno! È possibile che avesse una dimostrazione più semplice, che usava solo strumenti matematici in suo possesso? Anche questo è difficile: in 400 anni, con tutte le persone che hanno provato a risolvere il problema, qualcuno l'avrebbe trovata!

L'ipotesi più accreditata è che Fermat avesse una dimostrazione, ma che questa contenesse un errore. Errore di cui, forse, anche lui si era accorto (ma dopo la famosa annotazione a margine di pagina): questo spiegherebbe perché non l'abbia mai pubblicata o scritta a nessuno, neanche quando poi ha reso nota la sua dimostrazione nel caso particolare in cui n=4.

Ma c'è una terza ipotesi: e se Fermat avesse deciso di fare uno scherzo alle generazioni future? Se avesse scelto una congettura volutamente difficile, sperando che più persone possibile ci sbattessero la testa, cercando la sua dimostrazione, che in realtà non esisteva?

Per quanto mi riguarda, mi piace immaginare Fermat nel suo studio, la scrivania piena di fogli, i mobili di legno massiccio, le nuvole fuori dalla finestra; una copia della Commedia di Dante poggiata sulla poltrona, aperta all'ultima pagina del Purgatorio; e lui che scrive con una penna d'oca quell'annotazione a margine, mentre se la ride.

Buon Pi Greco Day!

 Oggi è il 14 marzo, il giorno del Pi Greco!

Il Pi Greco è probabilmente la costante matematica più conosciuta, quel numero che si nasconde nel cerchio e da vita a numerose competizioni per ricordarne le cifre.

Vuoi saperne di più? Qui trovi il mio post di qualche anno fa.

Buon Pi Day!