Heyawake

Annerisci alcune caselle, in modo che:

• due caselle nere non si tocchino ortogonalmente (possono toccarsi in diagonale);
• tutte le caselle bianche siano connesse ortogonalmente;
• una fila di caselle bianche consecutive non attraversi più di due bordi di regione;
• i numeri indichio quante caselle nere ci sono in quella regione (le caselle con un numero possono essere annerite).

Vuoi provare? Premi su un numero da 1 a 6 qui sotto per cominciare.
Clicca su una casella per colorarla di verde (puoi usarlo per segnalare che una casella è sicuramente bianca, ma non è necessario ai fini della soluzione), e due volte per annerirla.
Puoi usare il pulsante "Controlla la tua soluzione" per scoprire se hai fatto giusto. Puoi anche scoprire la soluzione con "Mostra la soluzione corretta", ma perderai tutti i tuoi progressi!
Riesci a risolvere tutti e sei gli schemi?

Dante e Fermat

Durante di Alighiero degli Alighieri, anche noto come Dante, nasce nel 1265 a Firenze, in Italia.

È considerato il padre della lingua italiana, e uno dei più grandi poeti e scrittori del nostro paese. Eppure, non era infallibile! 

Una dote importante per uno scrittore, infatti, è sicuramente saper riassumere, e dare ad ogni cosa il giusto spazio. Nel trentatreesimo canto del Purgatorio (versi 136-141), Dante ammette di aver sbagliato le misure:

S’io avessi, lettor, più lungo spazio 

da scrivere, i’ pur cantere’ in parte 

lo dolce ber che mai non m’avrìa sazio;

ma perché piene son tutte le carte 

ordite a questa cantica seconda, 

non mi lascia più ir lo fren de l’arte

🕮    🕮    🕮    🕮    🕮

Pierre de Fermat nasce nel 1601 a Beaumont-de-Lomagne, in Francia.

È uno dei più importanti matematici della storia (nonostante si occupasse della materia solo come hobby), ha dato importanti contributi allo sviluppo della matematica moderna e avuto scambi di lettere con molte altre importanti figure del suo tempo, come Mersenne e Pascal. Eppure, non era infallibile!

Mentre stava leggendo l'Arithmetica di Diofanto di Alessandria, scrisse sul bordo della pagina:

È impossibile separare un cubo in due cubi, o una potenza quarta in due potenze quarte, o in generale, tutte le potenze maggiori di 2 come somma della stessa potenza. Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina.

Quello che Fermat sostiene riguarda l'equazione

aⁿ + bⁿ = cⁿ

dove vogliamo che a, b e c siano numeri interi e positivi.

Se n=1, sappiamo trovare un sacco di terne di numeri a, b e c che soddisfano l'equazione: 1+2=3, 7+5=12, 2563+283646=286209 ...

Se n=2, queste terne si chiamano terne pitagoriche, e sono le possibili terne di lati dei triangoli rettangoli. Anche di queste sappiamo dimostrare che ne esistono infinite. Ad esempio: 3²+4²=5², 7²+12²=13² ...

Cosa succede per n=3 ? E per n=4 ? E per tutti gli altri possibili valori di n? Puoi provare quanto vuoi, ma, secondo Fermat, non esiste nessuna terna che soddisfi quell'equazione. Nessuna!

Eppure, Fermat non scrisse mai una dimostrazione di questo teorema, che venne chiamato "l'ultimo teorema di Fermat" (nonostante per essere davvero un teorema avrebbe dovuto avere una dimostrazione).

Lo dimostrò nel caso di n=4, e poi molti altri matematici dopo di lui provarono a dimostrarlo per altri valori di n. Eulero lo dimostrò per n=3, Dirichlet e Legendre per n=5, Gabriel Lamé per n=7.

Finalmente, nel 1994, Andrew Wiles è riuscito a dimostrarlo per tutti i possibili valori di n.

Ma che fine ha fatto la dimostrazione che Fermat sosteneva di avere in quel margine di pagina?

Ovviamente, c'è la possibilità che avesse davvero una dimostrazione del teorema, ma si tende ad escludere questa ipotesi: la dimostrazione di Wiles utilizza metodi matematici molto recenti, che Fermat non aveva, ed è impossibile che li avesse sviluppati da solo, e senza farne parola con nessuno! È possibile che avesse una dimostrazione più semplice, che usava solo strumenti matematici in suo possesso? Anche questo è difficile: in 400 anni, con tutte le persone che hanno provato a risolvere il problema, qualcuno l'avrebbe trovata!

L'ipotesi più accreditata è che Fermat avesse una dimostrazione, ma che questa contenesse un errore. Errore di cui, forse, anche lui si era accorto (ma dopo la famosa annotazione a margine di pagina): questo spiegherebbe perché non l'abbia mai pubblicata o scritta a nessuno, neanche quando poi ha reso nota la sua dimostrazione nel caso particolare in cui n=4.

Ma c'è una terza ipotesi: e se Fermat avesse deciso di fare uno scherzo alle generazioni future? Se avesse scelto una congettura volutamente difficile, sperando che più persone possibile ci sbattessero la testa, cercando la sua dimostrazione, che in realtà non esisteva?

Per quanto mi riguarda, mi piace immaginare Fermat nel suo studio, la scrivania piena di fogli, i mobili di legno massiccio, le nuvole fuori dalla finestra; una copia della Commedia di Dante poggiata sulla poltrona, aperta all'ultima pagina del Purgatorio; e lui che scrive con una penna d'oca quell'annotazione a margine, mentre se la ride.

Buon Pi Greco Day!

 Oggi è il 14 marzo, il giorno del Pi Greco!

Il Pi Greco è probabilmente la costante matematica più conosciuta, quel numero che si nasconde nel cerchio e da vita a numerose competizioni per ricordarne le cifre.

Vuoi saperne di più? Qui trovi il mio post di qualche anno fa.

Buon Pi Day!

Trofeo della Logica Apuana - 05 Battaglia Navale

Battaglia Navale era il quinto schema del Trofeo della Logica Apuana, e uno dei più difficili: solo cinque squadre hanno provato a risolverlo, e solo una c'è riuscita!

Qui trovi le regole.

Flotta: 

(Se non vedi la nave nell'immagine sopra o nelle seguenti, prova a ricaricare la pagina)

La prima cosa da fare quando si prova a risolvere uno schema di Battaglia Navale è segnare con una X tutte le caselle in una riga o colonna con uno 0 (in questo schema non ce ne sono), e le caselle vicine ad un pezzo di nave già inserito, poiché due navi non possono toccarsi tra di loro.

Segniamo con un rombo le caselle in cui sappiamo che dovrà esserci una nave (in questo caso, perché il pezzo di nave data deve continuare verso il basso) ma non sappiamo che forma abbia (in questo caso, potrebbe essere lunga 2, 3 o 4).

Guardiamo ora la prima colonna: ha solo sette caselle vuote, e ben sei devono contenere una nave!

Proviamo a vedere se la prima casella in alto può essere vuota: in tal caso la colonna sarebbe formata da due navi da 3:

Se ora disegnassimo tutte le X corrispondenti, ci accorgeremmo che occupano l'intera seconda colonna, in cui però deve trovarsi una nave.

Allora la prima casella della prima colonna non può essere vuota, e possiamo quindi disegnarci una nave. Allo stesso modo possiamo escludere altre tre caselle dall'essere vuote:

Ricordiamoci che due navi non possono toccarsi nemmeno in diagonale: questo ci consente di mettere un po' di X. Inoltre nella prima riga ci deve essere solo una nave, quindi tutto il resto deve essere vuoto.

Guardiamo ora la quarta colonna, quella con un 5: abbiamo ancora solo sei caselle da decidere. Se supponiamo che la prima in alto sia vuota, abbiamo un problema con la colonna del 2 a sinistra, proprio come prima facevamo con le prime due colonne. In modo simile possiamo escludere altre tre caselle dall'essere vuote:

Mettiamo le X in diagonale alle navi, e nella sesta riga, quella del 2, che è piena.

Notiamo che questo ci consente di concludere la nave che avevamo a metà.

Ora la colonna del 5 ha sicuramente una nave da 3 e due navi singole (che però potrebbero continuare in orizzontale!). La domanda è: la nave da 3 si trova sopra o sotto?

Se fosse sopra, la colonna del 2 non potrebbe essere completata. Quindi deve essere sotto. Mentre le due navi del 2 devono essere sopra.

Ora la riga del 4 è finita. Possiamo concludere la nave da 2 e mettere alcune X in giro:

Mettiamo una nave nell'ultima casella rimasta della seconda colonna. Possiamo poi concludere la prima colonna.

Notiamo che abbiamo già inserito tutte e tre le navi da 2, e anche quella da 4. Allora la nave nella seconda riga non può che essere una nave da 3.

Ora ci mancano solo da inserire tre navi da 1. Nella penultima riga dobbiamo metterne due, e l'ultima andrà nella seconda riga per completare l'ultima colonna.

Trofeo della Logica Apuana - 02 Fillomino

Fillomino era il secondo schema del Trofeo della Logica Apuana, e solo nove squadre sono riuscite a risolverlo in gara.

Qui trovi le regole.

Cominciamo con il disegnare i bordi tra caselle con numeri diversi, e quelli intorno agli 1.

Ora, la prima cosa che notiamo è che ci sono due 2 in diagonale nella parte sinistra dello schema. Non possono toccarsi, altrimenti avremmo una regione di almeno tre caselle, quindi il 2 a sinistra deve necessariamente continuare verso l'altro. Non possiamo invece concludere il 2 a destra, ma possiamo mettere due bordi.

Passiamo ora al 4 nell'angolo in alto a destra: deve continuare per forza verso sinistra. Ora abbiamo due coppie di 4: non possono toccarsi, altrimenti avremmo cinque caselle in questa regione. Disegnamo quindi i bordi.

Adesso la coppia di 4 in alto deve necessariamente continuare verso sinistra, e di nuovo non può scendere a toccare l'altra coppia di 4. Abbiamo così concluso una regione di 4.

Fino ad adesso abbiamo usato tecniche non troppo avanzate: se sapevi già giocare a Fillomino dovresti essere riuscito ad arrivare fin qui! Ora, invece, non è ovvio come continuare: quel 3 occuperà lo spazio verso destra? Oppure ci sarà un 2? Quei tre 4 si uniranno, o formeranno due regioni diverse? (in realtà, a quest'ultima domanda dovresti saper rispondere)

Il trucco è contare le caselle che rimangono (escludendo solo quelle di una regione completata): sono 34 bianche + una contenente un 3 + tre contenenti dei 4 + una contenente un 12 + una contenente un 20 + una contenente un 2; in totale 34+1+3+1+1+1= 41 caselle rimaste. Oppure saremmo potuti andare per esclusione: 7 x 7 caselle totali - quattro occupate dai 4 - due occupate dai 2 - due occupate dagli 1; quindi 49-4-2-2= 41 caselle rimaste.

Cosa dobbiamo ancora inserire? Almeno una regione da 3, una da 4 (potrebbero essere due, o anche più, ma quello che sappiamo finora è che ce ne sia almeno una), una da 12, una da 20 e una da 2; in totale 41 ! Quindi non rimane posto per nient'altro!

Questo significa che dobbiamo riempire tutto lo schema solo con queste regioni. Ad esempio, i 4 devono unirsi insieme. Possono farlo in due modi, ma uno di questi non va bene perché lascerebbe un buco di fianco all'1.

Le due caselle alla destra del 3 possono essere raggiunte solo da lui (e non possono formare una nuova regione).

Cosa può fare quel 2? Se va verso il basso, tutte le caselle nell'angolo in basso a sinistra rimangono isolate e non possono essere raggiunte né dal 12, né dal 20. Il 2 deve quindi andare verso destra.

Ora basta contare le caselle per capire che il 12 le ha già tutte in alto e non deve scendere, e lo schema è finito!