Ma è davvero così strano?

 L'altro giorno mi sono imbattuta in quest'immagine:

Anche senza seguire il calcio, appare evidente la straordinarietà della cosa: chiedendo ad alcuni dei migliori giocatori al mondo chi secondo loro è Il Migliore, questi si indicano a vicenda, formando un ciclo.

Voglio dire, quali erano le probabilità che succedesse? Non serve studiare matematica per dire che sono poche. Eppure, è successo.

Sì.

A parte il fatto che non è così. 

La probabilità che una cosa del genere succeda è niente meno che il 100%. In altre parole: un ciclo del genere si trova sempre.

Ma com'è possibile?

Le regole del gioco

Prima di proseguire, chiariamo quali ipotesi stiamo facendo. Supponiamo di prendere un insieme di grandi giocatori di calcio e di porre a ciascuno di loro la domanda "Secondo te, chi è il miglior calciatore al mondo?". 

Chiederemo loro di indicare una e una sola persona (non sono ammessi pareggi), di scegliere all'interno del gruppo (dopotutto abbiamo riunito i più forti) e di non scegliere se stessi (un po' di modestia!).

Nota: potremmo permettere loro di scegliere se stessi, ma in tal caso avremmo sempre un ciclo, seppur banale, poiché avremmo che "Tizio pensa che Tizio sia il migliore".

Possiamo rappresentare le loro preferenze con delle frecce: se Armando Blu ci dice che secondo lui Beppe Rosso è Il Migliore, allora faremo una freccia che va da Blu a Rosso. Poiché abbiamo richiesto di indicare una e una sola persona, e non se stessi, avremo che da ogni calciatore parte una freccia diretta ad un altro calciatore.

Quello che abbiamo disegnato, con degli oggetti e delle frecce che li collegano, si chiama "grafo".

In questo esempio possiamo vedere che Beppe Rosso pensa che Desiderio Arancio sia il migliore, e Desiderio Arancio pensa che Beppe Rosso sia il migliore. Ecco il nostro ciclo!

Qualche esempio

Ma come facciamo ad essere sicuri al 100% che qualunque grafo si possa disegnare in questo modo contenga un ciclo? Potrebbe essere che i calciatori possano mettersi d'accordo ed esprimere le loro preferenze in modo da lasciarci senza ciclo?

Prova a fare qualche tentativo e vedrai che, in un modo o nell'altro, otterrai sempre almeno un ciclo (sempre se non ti dimentichi di disegnare qualche freccia!).

Ad esempio, cosa succede se tutti i giocatori puntano a Beppe Rosso? O se si forma una catena in cui ognuno punta al successivo?

In entrambi gli esempi può sembrare che i calciatori siano riusciti a negarci i cicli, ma attenzione: nel primo caso Beppe Rosso non ha espresso la sua preferenza (non ha nessuna freccia che parta da lui), nel secondo caso è Desiderio Arancio a mancare. In entrambi i casi, aggiungendo la freccia mancante si forma necessariamente un ciclo.

Ma, di nuovo, possiamo essere sicuri al 100% che non ci sia un modo per escludere i cicli? Con 6 calciatori le possibilità sono relativamente poche (5⁶=15625 per la precisione) e potremmo pensare di controllarle tutte, ma cosa succede con 20 calciatori? E con 100? E se decidessimo di espandere il sondaggio a tutta la popolazione mondiale, arrivando ad avere più di 7 miliardi di persone? Chi ci dice che con 7 miliardi non si riesca a trovare una configurazione che non abbia cicli?

Per esserne sicuri, davvero sicuri, dovremmo dimostrarlo. Ed è esattamente quello che faremo.

Una dimostrazione

Scegliamo un calciatore a caso, ad esempio Furio Viola. Adesso spostiamoci sul calciatore da lui indicato, cioè Carlo Verde. Proseguiamo seguendo le frecce.

Poiché i calciatori sono in numero finito, non possono andare avanti all'infinito arrivando sempre su un calciatore nuovo. Prima o poi dovrò tornare su un calciatore da cui sono già stata, e qui troviamo il ciclo.

Nel nostro esempio, visiteremo in ordine: Furio Viola, Carlo Verde, Beppe Rosso, Desiderio Arancio e poi nuovamente Beppe Rosso. Poiché siamo tornati dove siamo già stati, deve esistere un ciclo che parte da Beppe Rosso e arriva a Beppe Rosso.

Guardiamo un altro esempio, questa volta con 11 giocatori.

Possiamo partire ad esempio da Genoveffo Turchese, proseguendo con Harry Marrone, Beppe Rosso, Armando Blu, Desiderio Arancio, Elia Azzurro, Furio Viola, Carlo Verde, per poi tornare su Beppe Rosso. Esiste quindi un ciclo che parte da Beppe Rosso e torna a Beppe Rosso, in particolare Rosso, Blu, Arancio, Azzurro, Viola, Verde, Rosso.

Forse non è così strano

Sembra quindi che trovare un ciclo non sia così strano come quest'immagine vorrebbe farci credere. Perché allora ci ha stupito trovarlo? 

Non sempre la nostra mente riesce a valutare bene la probabilità che qualcosa accada. Per fortuna la matematica può aiutarci a capire quanto dobbiamo sorprenderci.