Parabole e sorrisi

Oggi venerdì 5 ottobre 2018 è la giornata mondiale del sorriso. 😃
E quale giorno migliore di questo per parlare di parabole?
Le parabole, infatti, con quella loro forma tondeggiante sono perfette per rappresentare una bocca sorridente:

Le parabole, algebricamente, sono equazioni di secondo grado (con variabile, solitamente, x): il grafico di una parabola dipende quindi da tre numeri, i suoi coefficienti: a, b e c.
L'equazione di una parabola è:

La parabola della prima immagine qui sopra ha equazione y=x², quindi con a=1, b=0 e c=0. Puoi cambiare a piacimento i valori di a, b e c, ottenendo tante parabole che daranno vita a tanti sorrisi:

Devi però fare attenzione a quali numeri scegli... Se a è negativo, infatti, potresti trovarti davanti ad una brutta sorpresa:

Torniamo alla nostra prima parabola. Il nostro nuovo amico sembra davvero simpatico. Ha un sorriso enorme:

Davvero enorme:

Forse addirittura troppo... Abbiamo dimenticato che la parabola continua all'infinito... Che non sia il miglior modo matematico per rappresentare un sorriso? 😕
Potremmo provare con un semicerchio (ovviamente utilizzando la parte giusta... Non vogliamo avere altre facce tristi!):

Eppure non possiamo abbandonare il nostro amico al suo enorme destino... Deve esserci qualcosa che possiamo fare!
Cominciamo con il chiederci perché il semicerchio è diverso.
La sua equazione è:

Per alcune x questa funzione non esiste! Ad esempio, con x=-3 dovremmo calcolare la radice quadrata di 1-9=-8, ma -8 è un numero negativo, dunque la sua radice non esiste (almeno non nei numeri reali)! La stessa cosa succede con x=2: 1-4=-3.
Ecco perché vediamo il semicerchio soltanto con x tra -1 e 1: perché per gli altri valori semplicemente il semicerchio non esiste.
Quello che ci serve è quindi "costringere" la funzione a "non lavorare" per alcune x: ad esempio potremmo volere che la parabola esista soltanto per x tra -2 e 2.
Le radici quadrate sono un ottimo metodo per risolvere problemi del genere: se nell'equazione della parabola compare la radice allora la parabola non esisterà per x tra -2 e 2.
Aggiungendo soltanto quella radice, però, la parabola assume una forma strana:

Questo perché la radice non modifica soltanto per quali x la funzione esiste, ma anche che valore assume! Ma niente paura: per far tornare la bocca del nostro amico ad un bel sorriso ci basta dividere per la stessa radice:

Buona giornata mondiale del sorriso a tutti! 😄